[数学]离散微积分教程

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数学的终极目标是不需要聪明的想法。——《具体数学》

更高层次的求和法

离散微积分(又名有限微积分)是一种与传统微积分相类似的,更优雅的,更时尚的求和法。传统微积分小学就有人会了,用途广泛,但对和式处理却力不从心,而离散微积分就是为求和而创的。

差分

定义

传统微积分基于由$Df(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$所定义的微分算子$D$的性质。

离散微积分则基于由$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$所定义的差分算子$\Delta$的性质。

差分是微分的离散模拟,定义的相似性决定了性质的相似性。

性质

在传统微积分中,有一个美妙的幂函数微分法则:$D(x^m)=mx^{m-1}$,显然我们希望在离散微积分里面也有个类似的性质,虽然一般的幂函数达不到,比如:$\Delta(x^3)=(x+1)^3-x^3=3x^2+3^x+1$。

但有一类幂次却可以在$\Delta$下有很好的效果,它是由$x^{\underline{m}}=\frac{x!}{(x-m)!}$所定义的,显然有$x^{\underline{0}}=1,x^{\underline{x}}=x!$。

易知:

$$\Delta(x^{\underline{m}})=(x+1)^{\underline{m}}-x^{\underline{m}}$$

$$=(x+1)x...(x-m+2)-x...(x-m+2)(x-m+1)$$

$$=mx(x-1)...(x-m+2)=mx^{\underline{m-1}}$$

顺带一提,事实证明$(x+y)^m$与$(x+y)^{\underline{m}}$有类似的结果(阶乘二项式定理)。

求和

定义

传统微积分的微分算子$D$有一个逆运算,即逆微分算子(积分算子)$\int$,通过微积分基本定理将这两个算子联系起来:

$$g(x)=Df(x)当且仅当\int g(x)dx=f(x)+C$$

类似的,离散微积分中差分算子的逆运算为逆差分算子(求和算子)$\sum$,也有离散微积分基本定理:

$$g(x)=\Delta f(x)当且仅当\sum g(x)\delta x=f(x)+C$$

在传统微积分中有定积分,那么在离散微积分中也有定和,牛顿—莱布尼茨公式同样成立:

如果$g(x)=\Delta f(x)$,那么$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=[f(x)]_{a}^{b}=f(b)-f(a)$。

但在离散微积分中,一个普通和式想要成为定和,需要变换上界。

不妨设$g(x)=\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$,当$a=b$时,有:

$\sum_{a}^{a}g(x)\delta x=f(a)-f(a)=0$

当$b=a+1$时有:

$\sum_{a}^{a+1}g(x)\delta x=f(a+1)-f(a)=g(a)$

更一般地,$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=\sum_{k=a}^{b-1}g(k)$,即一般和式转换成定和,上界要加一。

性质

上面地讨论都是基于$b\geq a$时的,当$a<b$时则有:

$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=f(b)-f(a)=-(f(a)-f(b))=-\sum_{b}^{a}g(x)\delta x$$

用类似的方法有:

$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x+\sum_{b}^{c}g(x)\delta x=\sum_{a}^{c}g(x)\delta x$$

应用

基础应用

当然是花式求和了,首先很自然就可以得到:

$$\sum k^{\underline{m}}\delta k=\frac{k^{\underline{m+1}}}{m+1}+C$$

举个例子:

$$\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n+1}k^{\underline{1}}\delta k=[\frac{k^{\underline{2}}}{2}]_{1}^{n+1}=[\frac{k(k-1)}{2}]_{1}^{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}$$

通过两类斯特林数,我们可以很好的在下降幂和通常幂转换:

$$x^n=\sum_{k=1}^{n}\begin{Bmatrix}n \\k\end{Bmatrix}(-1)^{n-k} x^{\underline{k}},n\geq 0$$

$$x^{\underline{n}}=\sum_{k=1}^{n}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k,n\geq 0$$

(话说斯特林数好难打啊

进阶应用

首先定义移位算子$E$:$Ef(x)=f(x+1)$。

有分部求和法则:$\sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u$

例子:

$$\sum_{k=0}^{n}k2^k=\sum_{k=0}^{n+1}k2^k\delta k=[k2^k -2^{k+1}]_0^{n+1}=(n-1)2^{n+1}+2$$

最后修改:2019 年 02 月 04 日 08 : 53 AM

1 条评论

  1. Quanyin

    最后一个式子蛮有意思的

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